Nierówności w geometrii wypukłej

monograficzne

Algebra liniowa, analiza matematyczna jednej i wielu zmiennych, rachunek prawdopodobieństwa

w sali

Geometria wypukła zajmuje się głównie badaniem zbiorów wypukłych w przestrzeniach euklidesowych. Podczas wykładu skupimy się na pewnych nierównościach istotnych w tej dziedzinie, w tym na nierównościach izoperymetrycznych, koncentracyjnych, nierównościach typu Brunna-Minkowskiego oraz nierównościach Chinczyna.

1. Nierówność Brunna-Minkowskiego, nierówność izoperymetryczna, nierówność Prekopy-Leindlera

2. Symetryzacja Steinera, nierówność Urysohna

3. Nierówność Blashke-Santalo

4. Izoperymetria sferyczna i gaussowska, koncentracja gaussowska, nierówność Ehrharda

5. Nierówność Brascampa-Lieba

6. Odwrotna nierówność izoperymetryczna, twierdzenie Johna o elipsoidzie

7. Techniki lokalizacyjne

8. Nierówności Chinczyna i sekcje kul w normach l_p^n

9. Korelacja gaussowska

10. Nierówności dla entropii Shannona

S. Artstein-Avidan, A. Giannopoulos, and V. D. Milman. Asymptotic geometric analysis. Part I, volume 202 of Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2015.

P. Nayar, T. Tkocz, Extremal sections and projections of certain convex bodies: a survey, arXiv:2210.00885

R. Latała, D. Matlak, Royen's proof of the Gaussian correlation inequality, arXiv:1512.08776

K. Ball, An Elementary Introduction to Modern Convex Geometry, in Flavors of Geometry (Silvio Levy ed.), MSRI lecture notes, CUP (1997).

1. Student zna i rozumie podstawowe nierówności geometrii wypukłej.

2. Student zna i umie stosować podstawowe techniki dowodowe.

Nieobowiązkowe: prace domowe, kolokwium pisemne

Obowiązkowe: egzamin ustny

Rozwiązane zadania z prac domowych i kolokwium stanowią zaliczkę przed egzaminem ustnym (w przypadku dobrych wyników możliwe jest zwolnienie z egzaminu ustnego).