Algebry operatorów dające się widzieć II

Grafowe C*-algebry okazały się niezwykle skuteczne w badaniu K-teorii algebr operatorowych. Obecnie

są przedmiotem intensywnych badań w dziedzinie nieprzemiennej topologii, ciesząc się dużą ilością

nowych wyników. Celem tego wykładu jest przedstawienie podstaw grafów zorientowanych (kołczanów)

tak aby nauczyć od początku i w systematyczny sposób teorii grafowych C*-algebr.

Wykład rozpoczyna się od wprowadzenia pojęcia algebry ścieżkowej grafu zorientowanego (kołczanu),

która jest zdefiniowana jako liniowa powłoka wszystkich skończonych ścieżek grafu z mnożeniem danym

przez składanie ścieżek. Zatem liczba skończonych ścieżek w grafie jest wymiarem jego algebry

ścieżkowej. Następnie, kluczowym krokiem jest wprowadzenie relacji Cuntza-Kriegera w algebrze

ścieżkowej rozszerzenego grafu - definiują one algebrę ścieżkową Leavitta tego grafu jako iloraz

algebry ścieżkowej rozszerzenia tego grafu przez ideał generowany przez relacje Cuntza-Kriegera.

Biorąc ciało liczb zespolonych za ciało podstawowe algebry ścieżkowej Leavitta grafu i definiując

inwolucję przy pomocy rozszerzenia tego grafu, otrzymujemy zespoloną *-algebrę. Teraz możemy

zdefiniować grafowe C*-algebry jako uniwersalne C*-algebry obwiednie algebr ścieżkowych Leavitta.

Kluczowe wyniki, które będą tu przedstawione, dotyczą reprezentacji na przestrzeni Hilberta i

struktury ideałów grafowych C*-algebr.

Wykład kończy się zastosowaniami w topologii nieprzemiennej. Po pierwsze, udowadniamy że, poprzez

wyposażenie grafów w morfizmy Leavitta, przypisanie grafowi grafowej C*-algebry staje się

kontrawariantnym funktorem do kategorii C*-algebr i *-homomorfizmów. Następnie pokazujemy kiedy ten

kontrawariantny funktor przekształca pushouty grafów w pullbacki grafowych C*-algebr. Wszystko to

jest ilustrowane mnóstwem naturalnych przykładów zakorzenionych w klasycznej topologii.

Zdobycie praktycznej wiedzy na temat grafowych C*-algebr pozwalającej na rozpoczęcie badań

naukowych w tej dziedzinie matematyki. W zależności od poziomu zaangażowania, wykład ten może

prowadzić do pracy magisterskiej lub doktorskiej.