Hiperboliczne prawa zachowania

monograficzne

Celem niniejszego wykładu jest przedstawienie interesującej i współczesnej teorii matematycznej głęboko motywowanej zastosowaniami. Zastosowania te dotyczą takich zagadnień jak: mechanika gazów, równania opisujące zachowanie się granularnych lawin, ruch samochodów po autostradzie ze szczególnym uwzględnieniem "stop and go wave" czy zmiany w strukturach populacji biologicznych.

Analiza hiperbolicznych praw zachowania należy do jednych z najtrudniejszych problemów współczesnej teorii równań różniczkowych. Choć występują one powszechnie w fizyce (i nie tylko), ich ogólna teoria matematyczna jest daleka od kompletnej. Znane są jedynie klasyczne szczątkowe wyniki w konkretnych przypadkach (dla małych danych początkowych, dla przypadku skalarnego itd).

Wykład rozpoczniemy od przedstawienia zarysu modeli i zastosowań. Następnie, zajmiemy się ich matematyczną analizą (istnienie rozwiązań, ich jednoznaczność oraz zachowanie asymptotyczne).

W szczególności poruszymy następujące tematy:

1. Istnienie i jednoznaczność zagadnienia Cauchy'ego dla skalarnego prawa zachowania w klasie słabych rozwiązań entropijnych.

2. Metoda skompensowanej zawartości dla hiperbolicznych praw zachowania.

3. Metoda standardowej półgrupy riemannowskiej.

Jeżeli wystarczy czasu, na wykładzie lub ćwiczeniach będą poruszone następujące zagadnienia:

1. Metoda relatywnych entropii i długookresowa asymptotyka rozwiązań.

2. Kinetyczne sformułowanie dla hiperbolicznych praw zachowania i zastosowania do przejść granicznych w problemach singularnych.

3. Zachowanie energii a regularność rozwiązań, hipoteza Onsagera.

Literatura:

1. C.M. Dafermos, Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics, 2000.

2. A. Bressan, Hyperbolic Systems of Conservation Laws: The One-dimensional Cauchy Problem, 2000.

3. B. Perthame, Kinetic Formulation of Conservation Laws, 2003.

4. C. Bardos, P. Gwiazda, A. Świerczewska-Gwiazda, E. Titi, E. Wiedemann, On the Extension of Onsager’s Conjecture for General Conservation Laws, Journal of Nonlinear Science, 29, 501-510, 2019.

1. Student zna zarys aktualnej wiedzy matematycznej dotyczącej analizy hiperbolicznych praw zachowania.

2. Zna najważniejsze problemy otwarte i rozumie trudności związane z ich rozwiązaniem.

3. Zna najważniejsze przykłady hiperbolicznych praw zachowania.

Wykład zakończy się egzaminem ustnym. Student prezentuje wskazane zagadnienie (np. fragment artykułu naukowego).

Do egzaminu w terminie zerowym dopuszczeni są wszyscy studenci.