Kwantowe niezmienniki węzłów
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M20KNW |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Kwantowe niezmienniki węzłów |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty matematyczne dla doktorantów Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
6.00
|
Język prowadzenia: | angielski |
Kierunek podstawowy MISMaP: | biologia |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Założenia (opisowo): | Wymagania wstępne do wykładu są minimalne, w zakresie podstawowych kursów algebry, topologii. Wszystkie pojęcia zostaną wyjaśnione w trakcie wykładu w razie potrzeby. |
Tryb prowadzenia: | zdalnie |
Skrócony opis: |
Kurs ma na celu wprowadzenie do teorii kwantowych i kategoryjnych niezmienników węzłów. Po wyjaśnieniu klasycznych wielomianów Aleksandra, Conwaya, Jonesa i HOMFLY-PT, skwantujemy je za pomocą reprezentacji grup kwantowych i funktora Reshetikhina-Turaeva oraz skategoryfikujemy do homologii Khovanova-Lee. Kurs oparty jest na wybranych fragmentach literatury wymienionej poniżej. Podane zostaną sugestie dotyczące dalszej lektury. |
Pełny opis: |
1. Twierdzenie Reidemeistera 2. Trójkolorowalność, grupa węzła 3. Nawias Kauffmana, wielomian Jonesa 4. Grupa warkoczy, reprezentacja Burau 5. Algebra Temperleya-Lieba 6. Wielomian Jonesa przez reprezentacje grupy warkoczy 7. Homologie Khovanova, kategoryzacja wielomianu Jonesa 8. Algebry Frobeniusa i topologiczne kwantowe teorie pola 9. Sploty i algebry Hopfa, rachunek graficzny 10. Quasi-trójkątne, modularne i wstążkowe algebry Hopfa 11. Grupy kwantowe i reprezentacje splotów 12. Kolorowanie wykresów wstążkowych za pomocą reprezentacji i kategorie modularne 13. Niezmienniki Reshetikhina-Turaeva grafów wstążkowych przez grupy kwantowe 14. Węzły i rozmaitości trójwymiarowe 15. Fizyka, chemia i biologia węzłów |
Literatura: |
M. F. Atiyah, The geometry and physics of knots, Cambridge University Press, Cambridge, 1990. D. Bar-Natan. On Khovanov’s categorification of the Jones polynomial. Algebr. Geom. Topol., 2:337–370, 2002. P. Etingof, O. Schiffmann: Lectures on Quantum Groups. International Press (2002) V. Jones, A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 12 (1985) 103--111. L. Kauffman, Knots and physics, World Scientific Publishing, 3rd edition, 1993. T. Ohtsuki: Quantum Invariants. World Scientific (2001) V. V. Prasolov and A. B. Sossinsky, Knots, links, braids and 3-Manifolds. Translations of Mathematical Monographs 154, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997. N. Reshetikhin and V. Turaev, Ribbon graphs and their invariants derived from quantum groups, Comm. Math. Phys. 127 (1990) 1--26. |
Efekty uczenia się: |
1. Znajomość podstawowych pojęć teorii węzłów, w tym topologicznych, algebraicznych i kategoryjnych. 2. Zrozumienie podstawowych rezultatów w teorii węzłów wiążących ich niezmienniki z konstrukcjami w teorii reprezentacji, algebrze i geometrii nieprzemiennej. W szczególności, zrozumienie równoważności definicji wielomianu Jonesa, pochodzących z pozornie niezależnych punktów widzenia. 3. Znajomość związku teorii węzłów z innymi dyscyplinami naukowymi, takimi jak fizyka matematyczna, chemia i biologia białek, DNA itp. 4. Przygotowanie słuchacza do samodzielnej lektury współczesnej literatury naukowej w dziedzinie. |
Metody i kryteria oceniania: |
Aktywny udział w zajęciach. |
Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2023/24" (zakończony)
Okres: | 2024-02-19 - 2024-06-16 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR CZ PT WYK
CW
|
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Tomasz Maszczyk | |
Prowadzący grup: | Tomasz Maszczyk | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin | |
Kierunek podstawowy MISMaP: | biologia |
|
Skrócony opis: |
Kurs ma na celu wprowadzenie do teorii kwantowych i kategoryjnych niezmienników węzłów. Po wyjaśnieniu klasycznych wielomianów Aleksandra, Conwaya, Jonesa i HOMFLY-PT, skwantujemy je za pomocą reprezentacji grup kwantowych i funktora Reshetikhina-Turaeva oraz skategoryfikujemy do homologii Khovanova-Lee. Kurs oparty jest na wybranych fragmentach literatury wymienionej poniżej. Podane zostaną sugestie dotyczące dalszej lektury. |
|
Pełny opis: |
1. Twierdzenie Reidemeistera 2. Trójkolorowalność, grupa węzła 3. Nawias Kauffmana, wielomian Jonesa 4. Grupa warkoczy, reprezentacja Burau 5. Algebra Temperleya-Lieba 6. Wielomian Jonesa przez reprezentacje grupy warkoczy 7. Homologie Khovanova, kategoryzacja wielomianu Jonesa 8. Algebry Frobeniusa i topologiczne kwantowe teorie pola 9. Sploty i algebry Hopfa, rachunek graficzny 10. Quasi-trójkątne, modularne i wstążkowe algebry Hopfa 11. Grupy kwantowe i reprezentacje splotów 12. Kolorowanie wykresów wstążkowych za pomocą reprezentacji i kategorie modularne 13. Niezmienniki Reshetikhina-Turaeva grafów wstążkowych przez grupy kwantowe 14. Węzły i rozmaitości trójwymiarowe 15. Fizyka, chemia i biologia węzłów |
|
Literatura: |
M. F. Atiyah, The geometry and physics of knots, Cambridge University Press, Cambridge, 1990. D. Bar-Natan. On Khovanov’s categorification of the Jones polynomial. Algebr. Geom. Topol., 2:337–370, 2002. P. Etingof, O. Schiffmann: Lectures on Quantum Groups. International Press (2002) V. Jones, A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 12 (1985) 103--111. L. Kauffman, Knots and physics, World Scientific Publishing, 3rd edition, 1993. T. Ohtsuki: Quantum Invariants. World Scientific (2001) V. V. Prasolov and A. B. Sossinsky, Knots, links, braids and 3-Manifolds. Translations of Mathematical Monographs 154, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997. N. Reshetikhin and V. Turaev, Ribbon graphs and their invariants derived from quantum groups, Comm. Math. Phys. 127 (1990) 1--26. |
Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2024/25" (jeszcze nie rozpoczęty)
Okres: | 2025-02-17 - 2025-06-08 |
Przejdź do planu
PN WT ŚR CZ PT |
Typ zajęć: |
Ćwiczenia, 30 godzin
Wykład, 30 godzin
|
|
Koordynatorzy: | Tomasz Maszczyk | |
Prowadzący grup: | Tomasz Maszczyk | |
Lista studentów: | (nie masz dostępu) | |
Zaliczenie: | Egzamin |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.