Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego Nie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Fizyka matematyczna układów sieciowych, zwłaszcza nieokresowych

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M21FUS Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Fizyka matematyczna układów sieciowych, zwłaszcza nieokresowych
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Skrócony opis:

Wykład poświęcony jest badaniu matematycznych modeli układów oddziaływujących cząstek umieszczonych w węzłach regularnych sieci.

Omówimy model Isinga oddziałujących spinów. Przedyskutujemy 18. problem Hilberta i jego związki z kwazikryształami i z teorią ergodyczną symbolicznych układów dynamicznych. Przedyskutujemy też gry ewolucyjne na regularnych i losowych grafach.

Nie zakładamy znajomości fizyki ani matematyki wykraczającej poza wykłady kursowe z dwóch pierwszych lat studiów.

Pełny opis:

Wykład poświęcony jest badaniu matematycznych modeli układów oddziaływujących cząstek umieszczonych w węzłach regularnych sieci. Jako przykład ilustrujący istnienie magnesów przedstawiony zostanie model Isinga oddziałujących spinów. Udowodnimy spontaniczne złamanie symetrii - istnienie przejścia fazowego typu lód woda.

Przedyskutujemy 18. problem Hilberta i jego związki z kwazikryształami - mikroskopowymi modelami oddziałujących cząstek, dla których minimum funkcjonału energii osiągane jest tylko dla nieokresowych konfiguracji. Przedstawione zostaną nieokresowe parkietaże płaszczyzny i ich związki z teorią ergodyczną symbolicznych układów dynamicznych. Zajmiemy się też układami jednowymiarowymi - ciągami Thue-Morse'a i Fibonacciego i ogólnie układami Sturma.

Przedyskutujemy gry ewolucyjne na regularnych i losowych grafach.

Zaprezentowane zostaną fundamentalne otwarte problemy: istnienie nieokresowych miar Gibbsa i istnienie jednowymiarowych nieergodycznych automatów komórkowych.

Nie zakładamy znajomości fizyki ani matematyki wykraczającej poza wykłady kursowe z dwóch pierwszych lat studiów.

Plan wykładów

1. Dlaczego istnieją magnesy? Model Isinga odziaływujących spinów

2. Spontaniczne złamanie symetrii w ferromagnetycznym modelu Isinga

3. Ścisłe rozwiązanie jedno-wymiarowego modelu Isinga.

Przybliżenie pola średniego w dwu-wymiarowym modelu Isinga

4. Uogólnienie modelu Isinga - klasyczne gazy sieciowe

5. Zasady wariacyjne - minimalizacja funkcjonału energii swobodnej

6. Nieokresowe parkietaże - 18 problem Hilberta

7. Mikroskopowe modele kwazikryształów - układy z nieokresowymi stanami okresowymi.

8. Nieokresowe miary Gibbsa

9. Symboliczne układy dynamiczne - ciągi Thue-Morse'a i Fibonacciego

10. Teoria ergodyczna układów nieokresowych

11. Jednowymiarowe układy oddziałujących cząstek bez okresowych stanów podstawowych

12. Automaty komórkowe

13. Gry ewolucyjne na regularnych i losowych grafach

Literatura:

1. Sacha Friedli and Yvan Velenik, Statistcal Mechanics of Lattice Systems - A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2018

Książka dostępna on-line https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/

2. Michael Baake and Uwe Grimm, Aperiodic Order, vol 1, A Mathematical Invitation, Cambridge University Press, 2013

Efekty uczenia się:

Wiedza i umiejętności:

1. Zna ferromagnetyczny model Isinga, potrafi obliczyć magnetyzację w prostych modelach sieciowych.

2. Potrafi sformułować zasady wariacyjne.

3. Potrafi przedstawić proste modele gazów sieciowych bez okresowych stanów podstawowych.

Kompetencje społeczne:

Umie rozmawiać z fizykami.

Metody i kryteria oceniania:

Kryteria zaliczania: Zadania domowe 40% Projekt 60%

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2022-02-21 - 2022-06-15

Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Wykład monograficzny więcej informacji
Koordynatorzy: Jacek Miękisz
Prowadzący grup: Jacek Miękisz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.