Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego Nie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Potok przekształceń harmonicznych

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M21PPH Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Potok przekształceń harmonicznych
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Skrócony opis:

Równanie ciepła jest najbardziej znanym przykładem problemu parabolicznego. Potok przekształceń harmonicznych stanowi przeniesienie tego problemu na grunt geometryczny – zamiast funkcji rzeczywistych rozpatrujemy funkcje o wartościach w ustalonej rozmaitości, np. w dwuwymiarowej sferze. Potok przekształceń harmonicznych można wówczas zdefiniować – w analogii do równania ciepła – jako potok gradientowy energii Dirichleta, czyli całki z kwadratu normy różniczki. Ze względu na geometryczne więzy powstałe równanie jest nieliniowe, a sama teoria istnienia i regularności rozwiązań sprawia już duże trudności. Prześledzimy zarówno te podstawowe zagadnienia, jak również fenomen powstawania osobliwości oraz rolę geometrii rozmaitości obranej jako przeciwdziedzina.

Pełny opis:

Wykład zakłada wiedzę ze Wstępu do równań różniczkowych cząstkowych (w tym podstawowe informacje o słabych pochodnych) oraz kursu Analizy matematycznej II.1 i II.2. Pomocna będzie też podstawowa znajomość geometrii różniczkowej i analizy funkcjonalnej.

Tempo i dokładny zakres wykładu zostaną dopasowane do możliwości uczestników. Ćwiczenia będą miały częściowo charakter seminaryjny i poświęcone będą m.in. pojęciom geometrycznym i narzędziom analitycznym odgrywającym rolę w tej dziedzinie.

Na wykładzie poruszone zostaną następujące zagadnienia:

– Klasyczne równanie ciepła i jakościowe właściwości jego rozwiązań. Motywacja uogólnień na przypadek rozmaitości.

– Uzupełnienie wiedzy z geometrii różniczkowej (rozmaitości Riemanna, podrozmaitości przestrzeni euklidesowej, twierdzenie o otoczeniu tubularnym, druga forma podstawowa, operator Laplace’a na rozmaitościach).

– Informacja o przekształceniach harmonicznych między rozmaitościami.

– Klasyczna teoria nieliniowych równań parabolicznych (w skrócie).

– Zastosowanie klasycznej teorii dla potoku przekształceń harmonicznych w rozmaitość o niedodatniej krzywiźnie sekcyjnej.

– Potok przekształceń harmonicznych w wymiarze 2 i zjawisko bąblowania.

– Konstrukcja potoku przekształceń harmonicznych oparta na metodzie Ginzburga-Landaua. Charakteryzacja zbioru osobliwego.

– Informacje na temat innych problemów ewolucyjnych pochodzenia geometrycznego.

Literatura:

Monografia: F. Lin and C. Wang. The analysis of harmonic maps and their heat flows. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2008.

Oryginalne prace:

J. Eells, Jr. and J. H. Sampson. Harmonic mappings of Riemannian manifolds. Amer. J. Math., 86:109–160, 1964. Y. M. Chen and M. Struwe. Existence and partial regularity results for the heat flow for harmonic maps. Math. Z., 201(1):83–103, 1989.

J. Cheeger, R. Haslhofer, and A. Naber. Quantitative stratification and the regularity of harmonic map flow. Calc. Var. Partial Differential Equations, 53(1-2):365–381, 2015

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2021-10-01 - 2022-02-20

Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład monograficzny, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Michał Miśkiewicz
Prowadzący grup: Michał Miśkiewicz
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.