Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego Nie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Teoriomiarowe aspekty rachunku wariacyjnego

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M21TRW Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Teoriomiarowe aspekty rachunku wariacyjnego
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Skrócony opis:

Zostanie przedstawiona ta część rachunku wariacyjnego, gdzie istotną rolę grają obiekty definiowane poprzez miary. Są to m.in. funkcjonały określona na przestrzeniach miar Radona. Zostanie przedstawiona motywacja do takich rozważań.

Przedstawione będzie pojęcie zagadnienia dualnego i konieczny wstęp do analizy wypukłej. Jako zastosowanie przedstawione będzie zagadnienie Monge'a-Kantorowicza optymalnego transportu miary.

Pełny opis:

Grupa zagadnień optymalizacyjnych takich jak transport optymalny, czy swobodne projektowanie materiałów wykorzystuje narzędzia teorii miary wspomagane analizą wypukłą. Chcemy przedstawić staranny wstęp do takich metod i zagadnień jednocześnie dojść do współczesnych zagadnień badawczych.

Zajmiemy się podstawowym problemem rachunku wariacyjnego, w kontekście miar, jakim jest badanie istnienia punktów minimalnych. Wymaga to zbadania dolnej półciągłości funkcjonałów. W tym celu przedstawimy twierdzenie Reszetniaka i twierdzenie o plasterkowaniu miar, które jest ciekawe z ogólnego

punktu widzenia.

Wielce przydatne okazują się tutaj metody analizy wypukłej oparte na transformacji Legendre'a-Fenchla. Zobaczymy przykład ich zastosowania do zagadnienia na zbiorach o wymiarze niższym niż otaczająca przestrzeń euklidesowa.

Ważnym pojęciem analizy wypukłej jest `zagadnienia dualne', [ET]. Bywa, że jest ono prostsze niż zagadnienie pierwotne. Pozwala też na konstrukcje rozwiązań zagadnienia pierwotnego, [S]. Przykładem jest zagadnienie Monge'a optymalnego transportu miary. Oprócz tego, rozważanie zagadnień dualnych jest jednym ze sposobów znajdowania relaksacji funkcjonałów, [ET], czyli ich obwiedni dolnie półciągłych.

Planujemy przedstawienie fragmentu teorii Gamma-zbieżności funkcjonałów, który pozwoli na zbadać zbieżność potoków gradientowych.

Literatura:

[AFP] Ambrosio, Luigi; Fusco, Nicola; Pallara, Diego Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000.

[BBS] G.Bouchitte, G.Buttazzo, P.Seppecher, Energies with respect to a measure and applications to low-dimensional structures, Calc. Var. Partial Differential Equations, 5 (1997), no. 1, 37--54.

[ET] Ekeland, Ivar; Témam, Roger Convex analysis and variational problems. Translated from the French. Corrected reprint of the 1976 English edition. Classics in Applied Mathematics, 28. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1999

[S] Santambrogio, Filippo Optimal transport for applied mathematicians. Calculus of variations, PDEs, and modeling. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 87. Birkhäuser/Springer, Cham, 2015.

inna podana wykładzie

Efekty uczenia się:

1) Słuchacz zna i rozumie podstawowe zagadnienia rachunku wariacyjnego, zna i rozumie elementy analizy wypukłej;

2) Słuchacz zna i rozumie podstawowe zagadnienia minimalizacyjne na przestrzeni miar Radona.

3) Słuchacz zna i rozumie zagadnienia dualnego w analizie wypukłej.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2022-02-21 - 2022-06-15

Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Rybka
Prowadzący grup: Piotr Rybka
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.