Wprowadzenie do geometrii nieprzemiennej

fizyka
matematyka

monograficzne

Znajomość podstawowych pojęć algebry, analizy i topologii w zakresie kursów studiów. pierwszego stopnia.

lektura monograficzna
mieszany: w sali i zdalnie
w sali

Idea geometrii nieprzemiennej wychodzi od opisu przestrzeni z pewną strukturą (topologią, strukturą różniczkową, teorią miary etc.) za pomocą odpowiedniej algebry funkcji (ciągłych, gładkich, mierzalnych etc.). Następnie, dowodzi się twierdzeń o charakterze geometrycznym za pomocą algebry, analizy funkcjonalnej i algebry homologicznej zastosowanych do tych algebr. Ostatecznie, najbardziej nietrywialny krok polega na takim uogólnieniu tych metod, aby można je było zastosować do algebr nieprzemiennych. Otrzymane rezultaty interpretuje się jako geometryczne własności uogólnionych przestrzeni odpowiadających algebrom nieprzemiennym "funkcji". Konieczność rozważania tak uogólnionych przestrzeni powstaje naturalnie w zagadnieniach teorii reprezentacji grup, teorii układów dynamicznych i fizyce matematycznej.

1. Nieprzemienna topologia, geometria różniczkowa i teoria miary (twierdzenie

Gelfanda-Naimarka, geometria spektralna Connesa, algebry von Neumanna)

2. Twierdzenia o indeksie i kohomologie cykliczne (indeks operatora Fredholma, twierdzenie Atiyaha-Singera, twierdzenie Riemanna-Rocha, hipoteza Nowikowa i twierdzenie Connesa-Moscoviciego)

3. Deformacyjna kwantyzacja (rozmaitości Poissona i twierdzenie o formalności Kontsevicha)

4. Grupy kwantowe (zwarte grupy kwantowe i twierdzenie Woronowicza-Petera-Weyla, nieprzemienne uogólnienie dualności Pontriagina, grupy Poissona i kwantowe deformacje grup Liego)

1. John Madore: Noncommutative Geometry for Pedestrians, gr-qc/9906059

2. Joseph C. Varilly: An Introduction to Noncommutative Geometry, gr-

qc/9909059

3. Daniel Sternheimer: Deformation Quantization: Twenty Years After,

math/9809056

oraz wybrane fragmenty z poniższych pozycji z sugestią dalszej lektury:

4. Alain Connes: Noncommutative Geometry, Academic Press 1994.

5. Jose M. Gracia-Bondia, Joseph C. Varilly and Hector Figueroa: Elements of

Noncommutative Geometry Birkhauser 2001.

6. Giovanni Landi: Noncommutative Spaces and their Geometry, Lecture Notes

in physics, Springer 2002, hep-th/9701078.

7. John Madore: An Introduction to Noncommutative Differenial Geometry and

its Physical Applications. Second Edition Cambridge University Press, Cambridge 1999

8. Simone Gutt: Variations on Deformation Quantization, math/0003107.

Student

1) zna podstawowe pojęcia geometrii nieprzemiennej,

2) potrafi odnieść je do klasycznych zagadnień geometrii (topologii, geometrii różniczkowej itd.),

3) rozumie rolę idei geometrii nieprzemiennej w ich współczesnym przeformułowaniu i rozwiązaniu w znacznie większej ogólności,

4) potrafi podać przykłady wzajemnych inspiracji między geometrią nieprzemienną i fizyką kwantową,

5) jest przygotowany do samodzielnej lektury zasugerowanej literatury, koniecznej do zrozumienia najnowszych rezultatów w tej dziedzinie.

Zaliczenie na podstawie aktywnego udziału w ćwiczeniach i zreferowania

jednego zagadnienia wybranego z listy zadanych.