Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Geometryczna teoria miary i zagadnienia wariacyjne

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M23TMW
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Geometryczna teoria miary i zagadnienia wariacyjne
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Strona przedmiotu: https://moodle.mimuw.edu.pl/course/view.php?id=2068
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Kierunek podstawowy MISMaP:

matematyka

Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Wymagania (lista przedmiotów):

Teoria miary 1000-135TM

Założenia (lista przedmiotów):

Geometria różniczkowa 1000-135GR

Założenia (opisowo):

Poza materiałem obowiązkowych kursów etapu licencjackiego student powinien zaznajomić się z materiałem wykładu „Teoria miary”. W szczególności przydatne będzie tw. pokryciowe Biezikowicza, teoria różniczkowania miar Radona, tw. Riesza o reprezentacji, pojęcie słabej zbieżności miar. Należy przypomnieć sobie z kursu Analizy Matematycznej podstawowe fakty o rozmaitościach różniczkowych zanurzonych w Rn, formach różniczkowych i tw. Stokesa, zaś z kursu Topologii m.in. twierdzenie Tichonowa o zwartości iloczynu kartezjańskiego dowolnej rodziny przestrzeni zwartych.

Pomocna może okazać się znajomość definicji iloczynu tensorowego i potęgi zewnętrznej (przez własność uniwersalną) oraz ogólna otwartość na nieco algebraiczny i kategoryjny sposób myślenia.

Tryb prowadzenia:

w sali

Skrócony opis:

Geometryczna teoria miary polega na badaniu obiektów geometrycznych metodami teorii miary. Z rozmaitością zanurzoną w Rn można stowarzyszyć miarę Hausdorff obciętą do danej rozmaitości lub do wiązki stycznej tej rozmaitości. Rozważając ciąg takich miar i przechodząc do słabej granicy dostajemy bardziej ogólne obiekty, np. varifoldy lub prądy. Badamy funkcjonały określone na takich obiektach oraz ich punkty krytyczne, tj. stacjonarne varifoldy (uogólnienie powierzchni minimalnych). Wykład ma na celu zaprezentowanie aktualnej wiedzy w tej dziedzinie w stopniu pozwalającym na podjęcie samodzielnych badań. Zaczniemy od klasycznych wzorów area i coarea oraz wprowadzimy pojęcie prostowalności. Następnie omówmy podstawową teorię varifoldów. Na koniec skupimy się na kluczowym pojęciu eliptyczności funkcjonałów, które nie jest do tej pory dość dobrze zbadane.

Pełny opis:

Wykład jest naturalną kontynuacją kursu „Teoria miary”, którego materiał będzie punktem wyjścia do dalszych rozważań. Punktem dojścia ma być bieżący stan wiedzy na temat geometrycznych zagadnień wariacyjnych oraz znajomość głównych problemów otwartych w tej dziedzinie. W szczególności skupimy się na słabo do tej pory zrozumianym, a kluczowym, pojęciu eliptyczności.

Siłą rzeczy sporo materiału będzie opowiedziane poglądowo, bez prezentowania szczegółowych dowodów, choć zawsze z odniesieniem do konkretnych prac naukowych. Celem jest zaprezentowanie aktualnego stanu wiedzy na poziomie wystarczającym do podjęcia samodzielnych badań.

Wykład

  1. Skrót wiadomości z algebry wieloliniowej [1, §1] (1 wykład)
    1. Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych.
    2. Algebra tensorowa i zewnętrzna.
    3. Izomorfizm: Hom(A,B) ≃ A* ⊗ B.
    4. Norma i iloczyn skalarny na potędze zewnętrznej.
    5. Operacje iloczynu zewnętrznego i zwężania dla form wieloliniowych i wielowektorów.
    6. Grassmannian zorientowany i niezorientowany.
  2. Area i coarea [1, §3.2.1-12] (2 wykłady)
    1. Aproksymatywny Jakobian.
    2. Wzór area, czyli uogólnienie całkowania przez podstawienie.
    3. Wzór coarea, tzw. całkowanie po włóknach.
  3. Zbiory i miary prostowalne [1, §3.2.14-22] (2 wykłady)
    1. Sformułowanie twierdzeń: Whitney'a o rozszerzaniu funkcji gładkich i Rademachera o różniczkowalności funkcji Lipschitzowskich.
    2. Definicja i przykłady zbiorów prostowalnych i całkowicie nieprostowalnych.
    3. Skrótowo o wzorach area i coarea dla przekształceń pomiędzy zbiorami prostowalnymi.
    4. Zgodność miary Hausdorffa obciętej do rozmaitości z miarą powierzchniową na tej rozmaitości.
    5. Kilka charakteryzacji zbiorów i miar prostowalnych bez dowodów, np. Preiss (1987) oraz Azzam i Tolsa (2015).
    6. Miary prostowalne jako słabe granice ciągów rozmaitości gładkich.
  4. Varifoldy [10] (4 wykłady)
    1. Varifoldy ogólne, prostowalne i całkowite.
    2. Norma bemolowa (flat), zbieżność i zwartość rodzin varifoldów (tw. Tichonowa).
    3. Miary i varifoldy styczne.
    4. Popchnięcie (push-forward) varifoldu funkcją Lipschitzowską.
    5. Druga forma podstawowa i średnia krzywizna zanurzonych rozmaitości gładkich.
    6. Pierwsza wariacja varifoldu względem anizotropowego funkcjonału i uogólniona średnia krzywizna.
    7. Dowód monotoniczności ilorazów gęstości i kilka poglądowych uwag o konsekwencjach.
    8. Słaba zasada maksimum na podstawie [8].
  5. Eliptyczność (4 wykłady)
    1. Definicje eliptyczności Almgrena (AE) [11] oraz warunku atomowego (AC) [4].
    2. Zależność pojęcia eliptyczności od wyboru powierzchni testowych.
    3. Poglądowo o konsekwencjach eliptyczności:
      • istnienie minimów w klasie prostowalnych varifoldów [12];
      • prostowalność punktów krytycznych [4];
      • częściowa regularność minimów [11].
    4. Warunek BC oraz związki między AE i AC [6].
    5. Geometryczna charakteryzacja AC.
    6. Skalarny warunek atomowy (SAC) i regularność wykresów będących punktami krytycznymi [7].
    7. Konstrukcje k-wymiarowych, translacyjnie niezmienniczych miar w Rn i problem ich eliptyczności [5].

Ćwiczenia

  1. Operacje na wielowektorach i formach wieloliniowych.
  2. Różne charakteryzacje rozmaitości zanurzonych wykraczające poza materiał AM2 (zastosowania twierdzenia o rzędzie).
  3. Grassmannian jako rozmaitość zanurzona.
  4. Miara Hausdorffa w przestrzeni unormowanej wyrażona przez całkę z pewnej funkcji względem Euklidesowej miary Hausdorffa.
  5. Przykład pokazujący, że miara Hausdorffa nie jest produktem niżej wymiarowych miar Hausdorffa.
  6. Wyprowadzenie wzoru na anizotropowy perymetr zbioru.
  7. Miara Holmesa-Thompsona.
  8. Związek słabej topologii z topologią produktową.
  9. Związek normy bemolowej (flat norm) ze słabą zbieżnością miar.
  10. Obliczenie pochodnej Jakobianu oraz innych funkcji, których dziedziną jest zbiór przekształceń liniowych.
Literatura:

[1] Herbert Federer

Geometric measure theory, 1969

[2] Luigi Ambrosio, Nicola Fusco, Diego Pallara

Functions of bounded variation and free discontinuity problems

Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000.

ISBN: 0-19-850245-1

[3] Pertti Mattila

Geometry of sets and measures in Euclidean spaces, 1995

[4] Philippis, Guido De / Rosa, Antonio De / Ghiraldin, Francesco

Rectifiability of Varifolds with Locally Bounded First Variation with Respect to Anisotropic Surface Energies

Communications on Pure and Applied Mathematics , Vol. 71, No. 6, 2018

[5] J. C. Álvarez Paiva, A. C. Thompson

Volumes on normed and Finsler spaces

A sampler of Riemann-Finsler geometry, Vol. 50, 2004

[6] Antonio De Rosa, Sławomir Kolasiński

Equivalence of the ellipticity conditions for geometric variational problems

Communications on Pure and Applied Mathematics , Vol. 73, No. 11, 2020

[7] Antonio De Rosa, Riccardo Tione

Regularity for graphs with bounded anisotropic mean curvature

Inventiones mathematicae , Vol. 230 p. 463 - 507, 2020

[8] Brian White

The maximum principle for minimal varieties of arbitrary codimension

Communications in Analysis and Geometry, Vol. 18, No. 3, p. 421 - 432, 2010

[9] Nicolas Bourbaki

Topological vector spaces. Chapters 1-5.

Elements of Mathematics (Berlin).

Springer-Verlag, Berlin, 1987.

[10] William K. Allard

On the first variation of a varifold.

Ann. of Math. (2) 95, 1972

[11] Frederick J., Jr. Almgren

Existence and regularity almost everywhere of solutions to elliptic variational problems among surfaces of varying topological type and singularity structure.

Ann. of Math. (2) 87, 1968

[12] Yangqin Fang, Sławomir Kolasiński

Existence of solutions to a general geometric elliptic variational problem.

Calc. Var. Partial Differential Equations 57, 2018

Efekty uczenia się:

Znajomość bieżącego stanu wiedzy na temat geometrycznych zagadnień wariacyjnych na poziomie wystarczającym do podjęcia samodzielnych badań. W szczególności:

  • Rozumienie czym są geometryczne zagadnienia wariacyjne i jakie problemy napotykamy przy ich badaniu
  • Wiedza o dotychczasowych osiągnięciach na polu regularności punktów krytycznych i minimów funkcjonałów określonych na podzbiorach Rn
  • Rozumienie trudności wynikających z braku dowodu monotoniczności ilorazów gęstości w przypadku anizotropowym
  • Znajomość konstrukcji klasycznych funkcjonałów Busemanna-Hausdorffa i Holmesa-Thompsona
  • Wiedza o różnych pojęciach eliptyczności i ich własnościach
  • Znajomość literatury przedmiotu
  • Umiejętność zastosowania wzorów area i coarea
Metody i kryteria oceniania:

Egzamin ustny z teorii.

Pozytywny wpływ na końcową ocenę mogą mieć następujące aktywności na ćwiczeniach:

  • robienie przy tablicy zadań obliczeniowych
  • referowanie tematów (uzupełnianie luk z wykładu)
  • referowanie zadań domowych

a także:

  • spisanie w LaTeXu notatek z wykładu

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2023/24" (zakończony)

Okres: 2024-02-19 - 2024-06-16
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Kolasiński
Prowadzący grup: Sławomir Kolasiński
Strona przedmiotu: https://www.mimuw.edu.pl/~skola/2023L-GTM/
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
ul. Banacha 2
02-097 Warszawa
tel: +48 22 55 44 214 https://www.mimuw.edu.pl/
kontakt deklaracja dostępności mapa serwisu USOSweb 7.0.4.0-7ba4b2847 (2024-06-12)