Serwisy internetowe Uniwersytetu Warszawskiego Nie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza wypukła

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M21AWP Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza wypukła
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Skrócony opis:

Funkcje wypukłe stanowią ciekawą i bogatą klasę obiektów. Kluczowe ich własności

można podsumować następująco: każde lokalne minimum jest globalne oraz maksimum

na zbiorze ograniczonym przyjmowane jest na brzegu. Cechy te powodują, że

idealnie nadają się np. do badania problemów optymalizacyjnych. Na wykładzie

zajmiemy się klasyczną (elementarną) teorią w skończenie wymiarowej przestrzeni

Euklidesowej tak jak została wyłożona w książce "Convex analysis" autorstwa

R. T. Rockafellar. Pewne nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mogą

jednak pojawić się na ćwiczeniach.

Główne zagadnienia to:

* wypukłe sprzężenie (transformata Fenchela)

* transformata Legendre'a

* polarność wypukłych stożków

* twierdzenie Alexandrowa o istnieniu drugiego wielomianu Taylora prawie wszędzie

* twierdzenie Carathéodory'ego o reprezentacji dla otoczki wypukłej

* problemy typu min-max

* twierdzenie Fenchela o dualności

Pełny opis:

Zaczniemy od charakteryzacji funkcji i zbiorów wypukłych oraz zdefiniujemy

podstawowe operacje na tych obiektach. Następnie omówimy ich topologiczne

własności. W dalszej kolejności skupimy się na dualności między punktami i

hiperpowierzchniami oraz wprowadzimy operacje wypukłego sprzężenia (transformata

Fenchela) i~polarności. Badając wypukłe stożki zatrzymamy się też chwilę nad

związkami z teorią norm. Dalej udowodnimy twierdzenie Carathéodory'ego o

reprezentacji i zajmiemy się pojęciem punktów ekstremalnych. Następnie

przejdziemy do różniczkowalności funkcji wypukłych, zdefiniujemy subgradient,

omówimy transformatę Legendre'a i zbadamy jej związki z wypukłym

sprzężeniem. Zbadamy kiedy gradient funkcji wypukłej definiuje homeomorfizm jej

dziedziny z dziedziną sprzężenia. Być może uda się udowodnić też twierdzenie

Alexandrowa o istnieniu drugiego wielomianu Taylora dla funkcji wypukłej w

prawie każdym punkcie jej dziedziny. Na koniec, jeśli czas pozwoli, zajmiemy się

tematem wypukłej minimalizacji z wypukłymi więzami oraz problem min-max dla

funkcji wypukło-wklęsłej. W szczególności udowodnimy twierdzenie Fenchela o

dualności.

Na ćwiczeniach, poza rozwiązywaniem zadań ilustrujących i uzupełniających

wykład, będziemy przyglądali się pewnemu uogólnieniu zbiorów wypukłych, a

mianowicie zbiorami o dodatnim zasięgu (sets of positive reach).

Literatura:

Podstawowa:

* "Convex analysis" R. T. Rockafellar

* "Fundatnentals of Convex Analysis" J-B. Hiriart-Urruty, C. Lemarechal

Rozszerzona

* "Minkowski Geometry" A. C. Thompson

* "Lectures on Convex Geometry" D. Hug, W. Weil

* "Variational Analysis" R. T. Rockafellar, R. J-B. Wets

* "Convex Functions and their Applications: A Contemporary Approach" C. P. Niculescu, L-E. Persson

* "Curvature measures" H. Federer

* "User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations" M. Crandall, H. Ishii, P. Lions

* "Uniqueness of critical points of the anisotropic isoperimetric problem for finite perimeter sets" A.D. Rosa, S. Kolasiński, M. Santilli

Efekty uczenia się:

Dobra znajomość obowiązkowych przedmiotów kursowych z I i II roku studiów I stopnia.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2021/22" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2022-02-21 - 2022-06-15

Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład monograficzny, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Kolasiński
Prowadzący grup: Sławomir Kolasiński
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.