Algebry Banacha

monograficzne

Analiza funkcjonalna I 1000-135AF1
Funkcje analityczne 1000-134FAN

Uczestnik przedmiotu "Algebry Banacha" powinien znać i umieć stosować podstawowe twierdzenia analizy funkcjonalnej oraz teorii funkcji analitycznych jednej zmiennej zespolonej. Podstawowe informacje dotyczące słabych topologii, funkcji analitycznych wielu zmiennych, czy analizy harmonicznej będą pomocne, acz nie są konieczne.

Wykład "Algebry Banacha" ma na celu zaznajomienie uczestników z podstawową teorią algebr Banacha ze szczególnym uwzględnieniem przypadku przemiennego.

W ramach wykładu zostaną omówione następujące zagadnienia. Poniższą listę należy traktować jako szkic, który może ulec zmianie w zależności od zainteresowań uczestników.

1. Różne definicje algebr Banacha i dowód ich równoważności przy pomocy reprezentacji regularnej.

2. Pojęcie spektrum i promienia spektralnego, twierdzenie Gelfanda - Mazura o zespolonych algebrach z dzieleniem.

3. Twierdzenie Łomonosowa o podprzestrzeni niezmienniczej jako zastosowanie wzoru na promień spektralny.

3. Funkcjonały liniowo - multiplikatywne (homomorfizmy zespolone) i przestrzeń ideałów maksymalnych.

4. Pojęcie radykału (Jacobsona) i automatyczna ciągłość homomorfizmów w algebrach półprostych.

5. Transformacja Gelfanda.

6. Uwagi o algebrach rzeczywistych oraz algebrach bez jedynki.

7. Holomorficzny rachunek funkcyjny w algebrach Banacha i jego zastosowania (np. twierdzenie Wienera).

8. Metody konstruowania algebr Banacha (w tym mnożenie Arensa).

9. Szczególne typy elementów w algebrach Banacha - topologiczne nilpotenty i dzielniki zera.

10. Brzeg Szyłowa algebry Banacha i rozszerzanie funkcjonałów liniowo - multiplikatywnych z podalgebry.

11. Algebry Banacha z inwolucją, algebry symetryczne i regularne.

12. Przestrzeń strukturalna z topologią otoczki i jądra (hull - kernel topology).

13. Dwa słowa o C*-algebrach (twierdzenie Gelfanda - Najmarka).

14. Rachunek analityczny funkcji wielu zmiennych.

15. Szczegółowe informacje o algebrze miar na okręgu.

1. W. Rudin "Fourier Analysis on Groups".

2. C.C. Graham, O. C. McGehee" Essays in Commutative Harmonic Analysis".

3. Y. Katznelson" An Introduction to Harmonic Analysis".

4. W. Rudin "Analiza Funkcjonalna".

5. W. Żelazko "Algebry Banacha".

6. C. Rickart "General Theory of Banach Algebras".

7. T. Palmer "Banach Algebras and the General Theory of *-Algebras. Volume I".

8. C. Constantinescu "Banach Algebras and Compact Operators. Volume II".

9. E. Kaniuth "A Course in Commutative Banach Algebras".

10. R. Larsen "Banach Algebras. An Introduction".

Student po odbyciu kursu "Algebry Banacha" zna i rozumie podstawowe pojęcia teorii algebr Banacha. Jest ponadto przygotowany do czytania literatury fachowej oraz stosowania poznanej wiedzy w innych dziedzinach matematyki.

Na koniec semestru przewidziany jest (prosty) egzamin pisemny, którego wynik wraz z aktywnością na ćwiczeniach będzie podstawą do zaproponowania oceny. Osoby zainteresowane jej poprawą zostaną zaproszone na egzamin ustny.